一、商空间的基本定义
商空间（记作 \( X/Y \)）是矢量空间 \( X \) 通过其子空间 \( Y \) 构造的新空间，其元素为 \( Y \) 的陪集 \( x+Y \)。每个陪集定义为 \( x+Y = \{x+y \mid y \in Y\} \)，即原始空间中所有与 \( x \) 相差一个 \( Y \) 元素的向量集合。
二、陪集划分与等价关系
不同的陪集形成 \( X \) 的一个划分，这一性质通过等价关系证明：
- 自反性：\( x \sim x \)，因 \( x-x=0 \in Y \)；
- 对称性：若 \( x \sim y \)，则 \( y-x \in Y \)，故 \( y \sim x \)；
- 传递性：若 \( x \sim y \) 且 \( y \sim z \)，则 \( x-z = (x-y)+(y-z) \in Y \)。
由此，商空间 \( X/Y \) 的元素是互不相交的陪集，覆盖整个 \( X \) 空间。
三、代数运算与矢量空间结构
商空间的加法和数乘运算定义如下：
- 加法：\( (w+Y) + (x+Y) = (w+x) + Y \)；
- 数乘：\( \alpha(x+Y) = \alpha x + Y \) 。
这些运算不依赖于陪集代表的选择。例如，若 \( w’ \in w+Y \)，则 \( w’+Y = w+Y \)，运算结果唯一确定。
四、余维数与维数公式
商空间的维数称为子空间 \( Y \) 的余维数（codim \( Y \)），满足：
ext{codim } Y = \dim(X/Y) = \dim X
\dim Y \]
证明方法为：将 \( Y \) 的基扩充为 \( X \) 的基，剩余向量在商空间中线性无关且生成整个商空间。
商空间通过子空间的陪集划分和良定义的代数运算，将原空间的结构信息压缩到更高抽象层次。余维数反映了子空间与原空间维数的互补关系，在几何与代数问题中具有重要应用，例如简化高维空间分析。
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