一、商空间的基本定义与构造
给定矢量空间X及其子空间Y，商空间X/Y定义为所有形如x+Y的陪集构成的集合，其中x∈X。每个陪集x+Y = {x+y | y∈Y}代表将整个子空间Y平移至x处的等价类。
关键构造步骤：
- 通过等价关系x∼y ⇨ x-y∈Y定义陪集
- 证明不同的陪集互不相交且覆盖整个空间X
- 定义陪集间的加法和标量乘法运算
二、余维数的本质与计算
余维数codimY定义为商空间X/Y的维度，满足dim(X/Y) = dimX
dimY。当X为无限维空间时，余维数仍保持有限性的特殊性质。
在ℝ³/ℝ²中，所有z坐标相同的点被压缩为等价类，此时codimℝ² = 1，对应商空间与实数轴ℝ同构。
三、陪集划分的证明方法
证明陪集构成X的划分需验证两点：
- 任意x∈X必属于某个陪集x+Y
- 两个陪集要么完全重合，要么不相交
关键引理：若存在u∈(ω+Y)∩(x+Y)，则可证ω+Y = x+Y。这是通过子空间对加减运算的封闭性得出的结论。
四、代数运算的良定义验证
需证明定义的运算(ω+Y)+(x+Y)=(ω+x)+Y与代表元选择无关：
- 取ω’ = ω+y₁ ∈ ω+Y，x’ = x+y₂ ∈ x+Y
- 验证ω’+x’ = (ω+x)+(y₁+y₂) ∈ (ω+x)+Y
标量乘法同理可得α(x+Y)=αx+Y的良定义性，最终使X/Y构成矢量空间。
商空间理论通过等价类的抽象化处理，将子空间的代数结构映射为新的线性空间。余维数作为重要不变量，在解决线性方程组解空间结构等问题中具有核心应用价值。
本文由阿里云优惠网发布。发布者：编辑员。禁止采集与转载行为，违者必究。出处：https://aliyunyh.com/606379.html
其原创性以及文中表达的观点和判断不代表本网站。如有问题，请联系客服处理。
