在三维空间中，我们经常需要使用到各种各样的数学公式来描述物体的位置、方向以及大小等信息。本篇文章将为大家详细介绍几种常见的3D精准计算公式及其应用。
点与向量
点和向量是构成三维世界最基本也是最重要的元素之一。其中，点用于表示空间中的一个具体位置；而向量则用来表示从某一点指向另一点的方向及距离。给定点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么从A到B的向量V可以表示为：
V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
向量的模长
向量V=(x, y, z)的长度（或称模）定义为其各分量平方和的平方根：
|V| = √(x^2 + y^2 + z^2)
这个值反映了向量所代表的空间位移大小。
向量的标准化
有时候我们需要让某个非零向量成为单位向量（即长度为1的向量）。这可以通过除以该向量自身的模长实现：
U = V / |V|
这样得到的新向量U就具有了原向量相同的方向但长度被调整到了1。
两点间距离
利用前面提到的知识，我们可以很容易地求出三维空间中任意两点A(x1, y1, z1)与B(x2, y2, z2)之间的欧氏距离d：
d = |B - A| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
向量点积
两个向量A=(ax, ay, az)和B=(bx, by, bz)之间的点乘结果是一个标量，其计算方法如下：
A·B = axbx + ayby + azbz
还有两种重要的性质值得注意：
- 如果两向量垂直，则它们的点积等于0。
- 如果知道其中一个向量是单位向量的话，那么这两个向量点积的结果就是另一个向量在这个单位向量方向上的投影长度。
向量叉积
给定两个不平行的向量A=(ax, ay, az)和B=(bx, by, bz)，它们之间进行叉乘会生成一个新的垂直于两者所在平面的向量C：
C = A × B = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx)
需要注意的是，C的方向遵循右手定则：当你的右手拇指指向A，食指指向B时，中指自然弯曲的方向即为C的方向。
通过上述内容的学习，相信你已经对三维几何中的一些基础概念有了较为全面的认识。这些知识不仅对于理解图形学原理至关重要，在实际项目开发如游戏制作等领域也同样有着广泛的应用。希望本文能够帮助你在今后的学习工作中更好地理解和运用相关技术。
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